Kommen in einer Ungleichung außer Zahlen und der Variablen nur noch Quadrate der Variablen vor, so sprechen wir von einer quadratischen Ungleichung. Ihre Normalform lautet entweder

1. x² + px + q < 0 oder
2. x² + px + q > 0.

Um ihre Lösungsmenge zu bestimmen, lösen wir zunächst die zugehörige quadratische Gleichung x² + px + q = 0.

Wir unterscheiden folgende Fälle:

• Die zugehörige Gleichung hat keine Lösung.
  Dann ist die Lösungsmenge
• leer, falls die Einsetzung von 0 für x in die quadratische Ungleichung zu einer falschen Aussage führt, bzw.
• gleich R, falls die Einsetzung von 0 zu einer wahren Aussage führt.

• Die zugehörige Gleichung hat die Lösungen a und b, wobei a und b auch gleich sein können. Dann lässt sich dieUngleichung schreiben als

1. (x - a)(x - b ) < 0 oder als
2. (x - a)(x - b ) > 0.

Nun folgt die Anwendung der Regel:

• Ein Produkt ist genau dann positiv, wenn beide Faktoren positiv bzw. wenn beide Faktoren negativ sind.
• Ein Produkt ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren verschiedenes Vorzeichen haben (hierfür gibt es zwei Möglichkeiten).